4.3. Принятие решений об объемах производства продукции при наличии ограничивающих факторов

При производстве продукции предприятие сталкивается с ограничениями внешнего и внутреннего характера. К внутренним можно отнести наличие лимитов на рабочую силу или материальные ресурсы; к внешним - ограничения на спрос по данному виду продукции. Оптимальные объемы производства продукции при наличии ограничивающих факторов определяются методом линейного программирования. Разберем наиболее простой случай, когда предприятие выпускает всего лишь два вида продукции -А и Б.

Общая постановка задачи линейного программирования заключается в следующем. Найти такие объемы производства продукции х_А и х_Б, которые обеспечивали бы предприятию максимум прибыли:

П_А · х_А + П_Б · х_Б — max; (1)

при следующих ограничениях:

• на материалы М_А· х_А + М_Б · х_Б < М; (2)

• на используемое время t_А · х_А + t_Б · х_Б < T ; (3)

• на спрос по видам продукции х_А < А и х_Б < Б . (4)

Здесь П_А и П_Б - прибыль, приходящаяся на единицу продукции; М_А и М_Б - нормы расхода материалов; t_A и t_Б - нормы времени на изготовление единицы продукции; М и Т - запас материалов и фонд времени работы оборудования или рабочих; А и Б - величина спроса на продукцию.

Приведем графический и аналитический способы решения поставленной задачи.

Пример. Предприятие выпускает два вида продукции А и Б. Исходные данные по продуктам приведены в табл. 38.

Таблица 38

Исходные данные по продуктам А и Б

Постоянные затраты предприятия 230 тыс. р. в месяц. Месячный фонд времени рабочих ограничен 8000 ч. Спрос на продукцию: А = 300, Б = 500 ед. в месяц. Определить оптимальные объемы производства продукции.

Графический способ решения задачи. Будем искать максимум целевой функции (1) используя метод директ-костинга. Следовательно, целевая функция будет показывать максимум покрытия постоянных затрат, величина которых 230 тыс. р.:

1300 · х_А + х_Б → max. (5)

Ограничение на использование фонда времени рабочих:

20 · х_А +10 х_Б ≤ 8000. (6)

Ограничения по спросу:

х_А ≤ 300 (7)

и

х_Б ≤ 500. (8)

Преобразуем неравенства (6), (7) и (8) в равенства и изобразим соответствующие прямые на графике (рис.17)

Рис. 17. Графическая интерпретация метода линейного программирования

Эти прямые ограничивают область допустимых решений задачи OBCDE. На графике также показано одно из произвольных положений линии целевой функции (5), соответствующее величине прибыли, равной 260 000 р. Очевидно, что с увеличением прибыли линия целевой функции будет перемещаться параллельно самой себе - вправо и вверх. Оптимальное решение будет находиться на границе области допустимых решений, т.е. в точке C. В этой точке линия целевой функции будет занимать крайнее верхнее положение, соответствующее максимуму покрытия постоянных затрат. В точке C объемы производства продукции: х_А = 150 и х_Б = 500 ед. Соответствующая величина покрытия после подстановки этих данных в уравнение (5):

1300 ·150 +1000 · 500 = 695 000 р.

Прибыль предприятия будет равна 695 000 - 230 000 = 465 000 р., где 230 000 р. - постоянные затраты. Таким образом, из графика на рис. 3.4 видно, что полностью предприятие может удовлетворить спрос только на продукцию Б, а на продукцию А - лишь частично, не хватает ресурсов.

В точке D решение не будет оптимальным, поскольку покрытие (маржинальный доход) будет меньше:

1300 · 300 +1000 · 200 = 590 000 р.

В этом случае спрос на продукцию А будет удовлетворен полностью х_А = 300, а на продукцию Б - частично: х_Б = 200 ед. (точка D на графике рис. 17).

Аналитический способ решения задачи. В классическом варианте директ-костинга рассчитывается маржинальный доход на единицу производимой продукции. В том случае, когда предприятие сталкивается с недостатком ресурсов, маржинальный доход рассчитывается не на единицу продукции, а на единицу измерения ограничивающего ресурса. Это может быть сырье, материалы, время работы рабочих и оборудования, которые лимитируют объемы производства, т.е. ограничивающий фактор это тот, который не имеет запаса. Ресурс, которого не хватает, должен использоваться в первую очередь и наилучшим образом. Правило оптимизации производственной программы предприятия можно сформулировать следующим образом.

Для того чтобы прибыль предприятия была максимальной, нужно увеличивать объемы производства той продукции, у которой маржинальный доход на единицу ограниченного ресурса наибольший (например, табл. 39).

Таблица 39

Расчет маржинального дохода на единицу ограничивающего ресурса

Очевидно, что ограничивающим фактором является фонд времени, действительно:

300 ед. · 20 ч + 500 ед. · 10 ч = 11 000 ч > 8000 ч.

Другими словами, для того, чтобы удовлетворить спрос как на продукцию А, так и на продукцию Б необходимо 11 000 ч, а предприятие имеет в наличии всего лишь 8000 часов. У продукции А маржинальный доход на единицу продукции больше - 1300 р., а у продукции Б меньше - 1000 р. Однако маржинальный доход на единицу ограничивающего фактора, наоборот, у Б больше, а у А - меньше.

Для того чтобы прибыль предприятия была максимальной, в первую очередь, нужно использовать наиболее ценный ресурс, приносящий наибольший доход. Следовательно, продукцию Б нужно выпускать в максимальном количестве 500 ед., а на остатки ресурса - продукцию А. Остаток ресурса: 8000 ч - 500 ед. · 10 ч = 3000 чв. Количество продукции А, выпущенной на остатки ресурса: 3000 ч/20 ч = 150 ед. Итак, величина покрытия (маржинального дохода), соответствующего 500 ед. продукции Б и 150 ед. продукции А: 1300 · 150 +1000 ·500 = 695 000 р., что полностью совпадает с результатами графического способа решения этой задачи. Если принять ошибочное решение и в наибольшем количестве выпускать продукцию А в количестве 300 ед., а на остатки ресурса продукцию Б, то величина покрытия будет меньше. Действительно, остатки ресурса после выпуска А: 8000 - 300 ед. · 20 ч = 2000 ч. Количество продукции Б: 2000 час. / 10 ч = 200 ед. Покрытие или маржинальный доход: 1300 · 300 +1000 · 200 = 590 000 р.

Собственно говоря, этот доход соответствует неоптимальному положению линии целевой функции в точке D на графике (рис. 17). Таким образом, графический и аналитический способ решения задачи приводят к одному и тому же результату.